Разное >

Выпуклые дельтаэдры
В. А. Пленков

Сколько существует выпуклых тел, все грани которых - правильные треугольники? Большинство называют цифру три, имея ввиду три из пяти тел Платона. Точный и полный ответ сложнее: таких тел восемь! Вот они:

В списке сначала дается название тела по числу граней, затем в греческой терминологической системе, затем в системе Александрова-Залгаллера; затем следует перечисление простейших (призмы, антипризмы и пирамиды Архимеда) тел, на которые возможно разложить этот многогранник.

Рассмотренные выше 4, 8, 20-гранники имеют и вписанную, и описанную сферы; 6, 10-гранники имеют только вписанную сферу.

При исследовании выпуклых многогранников типа {3;{4;5}} - это обобщенный символ Шлефли, который означает, что все грани треугольные, углы при вершинах четырех и пятигранные - составляем систему необходимых условий.

Обозначим: n - число граней,
k - число вершин,
k4, k5 - число четырех- и пятигранных вершин соответственно.

Формула Эйлера и простой баланс числа ребер составят систему:

n = 2k - 4,
4k4 + 5k5 = 3n,
k4 + k5 = k.

Из этой системы имеем диофантово уравнение 2k4 + k5 = 12, одно из решений которого k4 = 4, k5 = 4, откуда n = 12.

Топология курносого биклиноида

Проверяем топологическую возможность существования такого многогранника – строим сетку ребер, спроектированных известным способом, с акцентированием типа вершин. Результат однозначный.

Здесь отрезки - проекции ребер,
Обозначение проекции вершины пятигранного угла - проекция вершины пятигранного угла,
Обозначение проекции вершины четырехгранного угла - проекция вершины четырехганного угла.

Остается, глядя на схему, построить развертку поверхности многогранника, взяв все треугольники равносторонними, затем склеить новое тело и полюбоваться его видом.

Курносый биклиноид (VRML)

Курносый биклиноид

Ребра курносого биклиноида

Ребра курносого биклиноида

Курносый биклиноид (все ребра = а) можно разрезать на 7 частей: 6 одинаковых треугольных пирамид (5 ребер = a, одно ребро = ka = АВ) и еще одна треугольная пирамида, которая заполнит полость внутри тела (4 ребра = a, 2 несмежных ребра = ka).

Коэффициент k определяется из труднонаходимого условия - кубического уравнения k3 - 3k2 - 4k + 8 = 0, являясь его вторым по величине корнем (D<0, поэтому уравнение будет иметь три действительных корня). Приближенно k = 1.2892...

Объем этого тела вычислен вообще, видимо, впервые:

V = (k2/12)(4-2k2)1/2a3 + (k/2)(3-k2)1/2a3, где k3 - 3k2 - 4k + 8 = 0.